Se seno e cosseno são coordenadas, o que acontece quando dividimos uma pela outra?
Nos artigos anteriores, acompanhamos um mesmo ponto P movendo-se sobre o círculo unitário.
Para cada ângulo θ, vimos que esse ponto possui coordenadas:
P = (cos θ, sen θ)
Isso significa que:
cos θ = x
e:
sen θ = y
O cosseno nos informa a posição horizontal do ponto, enquanto o seno nos informa sua posição vertical.
Agora podemos fazer uma nova pergunta:
O que acontece quando comparamos diretamente essas duas coordenadas?
Para começar, considere o ponto P no primeiro quadrante.
Ao projetarmos P sobre o eixo x, formamos um triângulo retângulo.
Como estamos no círculo unitário, o segmento OP, que corresponde à hipotenusa desse triângulo, possui comprimento:
OP = 1
Nesse triângulo, em relação ao ângulo θ:
cateto adjacente = cos θ
cateto oposto = sen θ
Nos artigos anteriores, comparamos cada um desses catetos com a hipotenusa. Foi assim que relacionamos a geometria do triângulo com seno e cosseno.
Agora faremos algo diferente.
Vamos comparar os dois catetos entre si:
cateto oposto / cateto adjacente
Essa razão recebe o nome de tangente.
Portanto:
tan θ = cateto oposto / cateto adjacente
Como, no círculo unitário:
cateto oposto = sen θ
e:
cateto adjacente = cos θ
obtemos:
tan θ = sen θ / cos θ
E, como:
sen θ = y
e:
cos θ = x
podemos escrever:
tan θ = y / x
Aqui aparece uma diferença importante em relação ao seno e ao cosseno.
O seno e o cosseno nos fornecem coordenadas do ponto P.
A tangente, por sua vez, compara essas duas coordenadas.
Mas essa razão revela algo ainda mais interessante.
A reta que passa pela origem O = (0,0) e pelo ponto P = (x,y) possui coeficiente angular:
m = Δy / Δx
Como partimos da origem:
m = y / x
e, como:
tan θ = y / x
temos:
m = tan θ
Portanto, a tangente está diretamente relacionada ao coeficiente angular da reta OP.
Quando y é pequeno em comparação com x, o valor de y/x é pequeno e a reta está pouco inclinada em relação ao eixo x.
À medida que y/x aumenta, o coeficiente angular aumenta e a reta se torna cada vez mais inclinada.
Assim, começamos a enxergar a tangente não apenas como uma razão entre lados de um triângulo, mas como uma grandeza que descreve quanto uma direção se inclina em relação ao eixo x.
E isso nos conduz naturalmente a uma nova pergunta:
O que acontece com a tangente quando a reta OP se aproxima da posição vertical?
Essa pergunta revelará uma característica da tangente que não encontramos nem no seno nem no cosseno. (OPENSTAX, 2021).
O que acontece quando a tangente aumenta?
Na Figura 1, vimos que a tangente pode ser escrita como:
tan θ = sen θ / cos θ
ou, utilizando as coordenadas do ponto P:
tan θ = y / x
Agora podemos acompanhar o que acontece quando o ponto P começa a se mover sobre o círculo unitário.
Considere inicialmente:
θ = 0°
Nesse ponto:
P = (1, 0)
Portanto:
cos 0° = 1
sen 0° = 0
e:
tan 0° = 0 / 1 = 0
Geometricamente, isso faz sentido: o segmento OP está sobre o eixo x.
Seu ângulo de inclinação é 0° e seu coeficiente angular também é 0.
Assim:
m = tan 0° = 0
Agora fazemos o ponto P girar no sentido anti-horário.
À medida que θ aumenta, duas coisas acontecem simultaneamente no primeiro quadrante:
sen θ aumenta
enquanto:
cos θ diminui
Consequentemente, na razão:
tan θ = sen θ / cos θ
o numerador aumenta enquanto o denominador diminui.
A tangente, portanto, aumenta.
Podemos observar isso em alguns ângulos conhecidos.
Para:
θ = 30°
temos:
sen 30° = 1/2
cos 30° = √3/2
Logo:
tan 30° = (1/2)/(√3/2) = 1/√3 = √3/3
Para:
θ = 45°
temos:
sen 45° = √2/2
cos 45° = √2/2
Portanto:
tan 45° = 1
Esse resultado possui uma interpretação geométrica particularmente clara.
Se:
tan 45° = y/x = 1
então:
y = x
Ou seja, o deslocamento vertical é igual ao deslocamento horizontal.
Por isso, a reta OP forma exatamente 45° com o eixo x e possui coeficiente angular:
m = 1
Continuando o movimento até:
θ = 60°
temos:
sen 60° = √3/2
cos 60° = 1/2
e:
tan 60° = (√3/2)/(1/2) = √3
Percebemos, então, uma sequência:
tan 0° = 0
tan 30° = √3/3
tan 45° = 1
tan 60° = √3
Quanto mais o segmento OP se aproxima da posição vertical, maior se torna a razão entre sua componente vertical e sua componente horizontal.
Consequentemente, seu coeficiente angular aumenta.
Mas agora chegamos a uma situação especialmente interessante.
Quando θ se aproxima de 90° pelo primeiro quadrante, o ponto P se aproxima de:
P = (0, 1)
Nesse processo:
sen θ → 1
enquanto:
cos θ → 0⁺
Portanto, na expressão:
tan θ = sen θ / cos θ
o numerador se aproxima de 1, enquanto o denominador permanece positivo e se aproxima cada vez mais de zero.
Como consequência, a tangente assume valores positivos cada vez maiores:
tan θ → +∞ quando θ → 90° pela esquerda
Isso não significa que a tangente seja igual a infinito em 90°. Significa que seus valores crescem sem limite quando nos aproximamos desse ângulo pelo primeiro quadrante.
Mas o que acontece exatamente em 90°?
Nesse ângulo:
sen 90° = 1
e:
cos 90° = 0
Teríamos:
tan 90° = 1/0
Como a divisão por zero não está definida, concluímos que:
tan 90° não está definida.
Essa não é uma exceção arbitrária que precisamos decorar.
Ela nasce diretamente da geometria.
Em 90°, o segmento OP está vertical.
Sua variação horizontal é zero e, portanto, o coeficiente angular:
m = y/x
não pode ser calculado.
A reta vertical, portanto, não possui coeficiente angular definido.
É aqui que a tangente começa a revelar um comportamento muito diferente daquele observado no seno e no cosseno.
Enquanto:
−1 ≤ sen θ ≤ 1
e
:−1 ≤ cos θ ≤ 1
a tangente não está limitada ao intervalo de −1 a 1.
Ela pode assumir valores de módulo cada vez maiores à medida que cos θ se aproxima de zero.
E agora surge uma pergunta ainda mais interessante:
o que acontece depois que o ponto ultrapassa 90° e entra no segundo quadrante?
É isso que veremos no próximo passo. (OPENSTAX, 2021).
O que acontece quando passamos de 90°?
No bloco anterior, acompanhamos o ponto P desde:
θ = 0°
até sua aproximação de:
θ = 90°
Vimos que, no primeiro quadrante:
sen θ > 0
e:
cos θ > 0
Portanto:
tan θ = sen θ / cos θ > 0
Quando nos aproximamos de 90° pela esquerda, o cosseno se aproxima de zero por valores positivos e a tangente cresce sem limite:
tan θ → +∞
Mas o movimento do ponto P não termina em 90°.
Ele continua girando no sentido anti-horário e entra no segundo quadrante.
Imediatamente depois de 90°, acontece algo importante.
A coordenada vertical continua positiva:
y > 0
portanto:
sen θ > 0
Mas a coordenada horizontal passa a ser negativa:
x < 0
portanto:
cos θ < 0
Assim, logo depois de 90°, temos um seno próximo de 1, enquanto o cosseno assume valores negativos muito próximos de zero.
Consequentemente:
tan θ = sen θ / cos θ
assume valores negativos de módulo muito grande.
Ou seja:
tan θ → −∞ quando θ → 90° pela direita
Isso explica uma característica fundamental da tangente: em 90°, ela não está definida e seu comportamento muda de valores positivos muito grandes, antes de 90°, para valores negativos de módulo muito grande, depois de 90°.
Continuando pelo segundo quadrante:
sen θ > 0
e:
cos θ < 0
Logo:
tan θ < 0
Assim, a mudança de sinal da tangente não é uma regra isolada a ser memorizada.
Ela nasce diretamente dos sinais das coordenadas x e y do ponto P.
Podemos verificar isso com um ângulo conhecido.
Considere:
θ = 120°
Nesse ponto:
sen 120° = √3/2
e:
cos 120° = −1/2
Portanto:
tan 120° = (√3/2)/(−1/2)
Logo:
tan 120° = −√3
Observe o significado geométrico.
A reta que passa por O e P possui coeficiente angular:
m = y/x = tan θ
Como, no segundo quadrante:
y > 0
e:
x < 0
temos:
m < 0
Portanto, a reta OP possui coeficiente angular negativo.
E nos outros quadrantes?
Podemos aplicar exatamente o mesmo raciocínio.
No terceiro quadrante:
sen θ < 0
cos θ < 0
Portanto:
tan θ > 0
No quarto quadrante:
sen θ < 0
cos θ > 0
Portanto:
tan θ < 0
Temos, assim:
1º quadrante → tangente positiva
2º quadrante → tangente negativa
3º quadrante → tangente positiva
4º quadrante → tangente negativa
Mas existe uma maneira ainda mais interessante de compreender esse comportamento.
Considere os ângulos:45° e 225°
Eles correspondem a pontos situados em lados opostos do círculo:
P₁ = (√2/2, √2/2)
e:
P₂ = (−√2/2, −√2/2)
Em 45°:
tan 45° = (√2/2)/(√2/2) = 1
Em 225°:
tan 225° = (−√2/2)/(−√2/2) = 1
Embora os dois pontos estejam em posições opostas no círculo, a razão entre suas coordenadas é a mesma.
Isso acontece porque P₁ e P₂ pertencem à mesma reta que passa pela origem.
Ao avançarmos meia volta, tanto a coordenada x quanto a coordenada y mudam de sinal:
(x, y) → (−x, −y)
Mas sua razão permanece igual:
(−y)/(−x) = y/x
Por isso:
tan(θ + 180°) = tan θ
ou, em radianos:
tan(θ + π) = tan θ
Encontramos aqui uma diferença fundamental em relação ao seno e ao cosseno.
Seno e cosseno precisam de uma volta completa para repetir individualmente seus valores:
período = 360° = 2π rad
A tangente repete seu comportamento depois de apenas meia volta:
período = 180° = π rad
Mais uma vez, a periodicidade não surge arbitrariamente de uma fórmula.
Ela nasce da própria geometria do movimento no círculo. (OPENSTAX, 2021).
Por que a tangente pode crescer sem limite?
Já vimos que:
tan θ = sen θ / cos θ
e que seu sinal depende dos sinais de seno e cosseno.
Mas existe uma característica da tangente que a diferencia profundamente dessas duas funções.
Enquanto:
−1 ≤ sen θ ≤ 1
e;
−1 ≤ cos θ ≤ 1
a tangente não possui valor máximo nem valor mínimo.
Para entender melhor por quê, vamos observar numericamente o que acontece quando nos aproximamos de 90° pelo primeiro quadrante.
Para:
θ = 45°
temos:
sen 45° = √2/2
cos 45° = √2/2
portanto:
tan 45° = 1
Aumentando o ângulo:
θ = 60°
temos:
sen 60° = √3/2
cos 60° = 1/2
logo:
tan 60° = √3 ≈ 1,73
Avancemos ainda mais:
θ = 80°
aproximadamente:
sen 80° ≈ 0,985
cos 80° ≈ 0,174
portanto:
tan 80° ≈ 5,67
Observe o que está acontecendo.
À medida que θ se aproxima de 90° pela esquerda:
sen θ → 1
enquanto:
cos θ → 0⁺
Como:
tan θ = sen θ / cos θ
estamos dividindo um número próximo de 1 por números positivos cada vez menores.
A ideia pode ser percebida com divisões muito simples:
1 / 0,1 = 10
1 / 0,01 = 100
1 / 0,001 = 1000
O denominador nunca precisa ser igual a zero para que o quociente se torne arbitrariamente grande.
Por isso:
θ → 90° pela esquerda ⇒ tan θ → +∞
Esse símbolo não significa:
tan 90° = ∞
Em exatamente:
θ = 90°
temos:
cos 90° = 0
e, portanto, a expressão:
tan θ = sen θ / cos θ
envolveria uma divisão por zero.
Assim:
tan 90° não está definida.
Do outro lado de 90°, como vimos no bloco anterior:
θ → 90° pela direita ⇒ tan θ → −∞
Podemos, portanto, resumir o comportamento em torno desse ângulo:
θ → 90°⁻ ⇒ tan θ → +∞
θ = 90° ⇒ tan θ não está definida
θ → 90°⁺ ⇒ tan θ → −∞
É justamente esse comportamento que produz uma característica fundamental no gráfico da função tangente:
uma assíntota vertical em θ = 90°.
Uma assíntota vertical é uma reta da qual o gráfico se aproxima cada vez mais enquanto os valores da função crescem ou decrescem sem limite, sem que a função esteja definida naquele valor de θ.
Mas 90° não é o único caso.
Como a tangente possui período de:
180°
o mesmo fenômeno se repete sempre que o cosseno é igual a zero:
90°, 270°, 450°, …
e também nos ângulos negativos correspondentes.
De forma geral:
θ = 90° + k·180°com k inteiro.
Em radianos:
θ = π/2 + kπ
Nesses ângulos:
cos θ = 0
e, consequentemente:
tan θ não está definida.
Portanto, o crescimento sem limite da tangente e suas assíntotas verticais não são peculiaridades arbitrárias de um gráfico.
Ambos surgem diretamente da relação:
tan θ = sen θ / cos θ
quando cos θ se aproxima de zero. (STEWART; REDLIN; WATSON, 2016).
Como nasce o gráfico da função tangente?
Até agora, acompanhamos a tangente diretamente no círculo unitário.
Vimos que:
tan θ = sen θ / cos θ
e, como:
sen θ = ycos θ = x
podemos escrever:
tan θ = y / x
Também descobrimos algo que diferencia profundamente a tangente do seno e do cosseno.
Quando cos θ se aproxima de zero, o valor da tangente pode crescer em módulo sem limite.
Agora podemos reunir essas informações e compreender de onde vem o gráfico da função tangente.
Comecemos em:
θ = 0°
Nesse ponto:
sen 0° = 0
cos 0° = 1
Portanto:
tan 0° = 0
Assim, o gráfico da tangente passa pelo ponto:
(0°, 0)
À medida que o ângulo aumenta no primeiro quadrante, a tangente também aumenta.
Em:
θ = 30°
temos:
tan 30° = √3/3 ≈ 0,577
Em:
θ = 45°
temos:
tan 45° = 1
Em:
θ = 60°
temos:
tan 60° = √3 ≈ 1,732
E, quando nos aproximamos de 90° pela esquerda:
θ → 90°⁻
temos:
tan θ → +∞
Em exatamente:
θ = 90°
a tangente não está definida.
Esse comportamento é representado no gráfico por uma reta vertical em
θ = 90°,
da qual a curva se aproxima enquanto seus valores crescem ou decrescem sem limite.
Essa reta é uma:
assíntota vertical
Do outro lado dessa assíntota:
θ → 90°⁺
temos:
tan θ → −∞
A partir daí, à medida que percorremos o segundo quadrante, a tangente aumenta novamente.
Em:
θ = 120°
temos:
tan 120° = −√3
Em:
θ = 135°
temos:
tan 135° = −1
Em:
θ = 150°
temos:
tan 150° = −√3/3
Até chegarmos a:
θ = 180°
quando:
sen 180° = 0
cos 180° = −1
e, portanto:
tan 180° = 0
Observe então o percurso.
Antes da assíntota:
0 → valores positivos cada vez maiores → +∞
Depois da assíntota:
−∞ → valores negativos → 0
Isso produz os ramos característicos do gráfico da função tangente entre 0° e 180°.
Mas o movimento continua.
Depois de 180°, o ponto P continua girando.
E já vimos que:
tan(θ + 180°) = tan θ
Portanto, todo esse comportamento começa novamente.
É por isso que a função tangente possui período:
180° = π rad
Assim, diferentemente do seno e do cosseno, que precisam de uma volta completa para repetir seus valores, a tangente repete seu gráfico a cada meia volta.
As assíntotas também se repetem.
Elas aparecem sempre que:
cos θ = 0
ou seja:
θ = 90° + k·180°
com k inteiro.
Em radianos:
θ = π/2 + kπ
Entre duas assíntotas consecutivas, a tangente percorre continuamente todos os valores reais.
Portanto, sua imagem é:
Im(tan) = ℝ
Isso significa que, enquanto seno e cosseno possuem valores limitados entre −1 e 1, a tangente pode assumir qualquer valor real.
O gráfico não surgiu do nada
Esse é o ponto mais importante.
A curva que chamamos de gráfico da tangente não é uma forma matemática que precisamos simplesmente memorizar.
Cada ponto desse gráfico registra o valor da razão:
tan θ = y/x
produzida pelas coordenadas do ponto P enquanto ele gira no círculo unitário.
Assim, podemos acompanhar toda a construção:
movimento circular → coordenadas x e y → razão y/x → tangente → gráfico
A geometria veio primeiro.
O gráfico é apenas outra maneira de registrar o que essa geometria está fazendo. (OPENSTAX, 2021).
A tangente também pode ser vista fora do círculo?
Até aqui, construímos a tangente a partir da razão entre as coordenadas do ponto P no círculo unitário:
tan θ = sen θ / cos θ
Como:
P = (cos θ, sen θ)
também podemos escrever:
tan θ = y/x
Essa interpretação nos permitiu compreender a tangente como o coeficiente angular da reta OP, uma grandeza diretamente relacionada ao seu ângulo de inclinação.
Mas existe uma construção geométrica que, no primeiro quadrante, torna o próprio valor da tangente visível como um comprimento.
Para encontrá-la, vamos acrescentar um novo elemento ao círculo unitário.
Considere o ponto:
T = (1, 0)
Nesse ponto, traçamos a reta vertical:
x = 1
Essa reta toca o círculo unitário somente em T.
Por isso, ela é uma reta tangente à circunferência.
Agora prolongamos a reta que parte da origem O e passa pelo ponto P, até que ela encontre essa reta vertical.
Chamemos o ponto de encontro de Q.
A reta OQ forma o mesmo ângulo θ com o eixo x que o segmento OP.
Observe agora o triângulo retângulo formado pelos pontos O, T e Q.
Como:
T = (1, 0)
temos:
OT = 1
Nesse triângulo, OT é o cateto adjacente ao ângulo θ, enquanto TQ é o cateto oposto.
Pela definição da tangente no triângulo retângulo:
tan θ = cateto oposto / cateto adjacente
Portanto:
tan θ = TQ / OT
Como:
OT = 1
obtemos:
tan θ = TQ
Chegamos a uma interpretação geométrica muito importante:
no primeiro quadrante, o valor de tan θ pode ser representado pelo comprimento do segmento vertical TQ sobre a reta x = 1.
Por exemplo, para:
θ = 45°
temos:
tan 45° = 1
Portanto:
TQ = 1
Para:
θ = 60°
temos:
tan 60° = √3
Logo:
TQ = √3
À medida que θ aumenta e se aproxima de 90° pela esquerda, a reta OQ fica cada vez mais próxima da posição vertical.
Consequentemente, o ponto Q sobe cada vez mais pela reta x = 1.
Assim:
θ → 90°⁻ ⇒ TQ cresce sem limite
Essa construção nos permite enxergar geometricamente aquilo que anteriormente havíamos descoberto pela razão:
tan θ = sen θ / cos θ
Quando:
cos θ → 0⁺
temos:
tan θ → +∞
Na construção com a reta tangente, isso corresponde ao ponto Q afastando-se indefinidamente para cima ao longo da reta x = 1.
Por que ela se chama tangente?
Aqui precisamos fazer uma distinção importante.
A função tangente recebe esse nome por sua associação histórica com essa construção geométrica envolvendo uma reta tangente ao círculo.
A palavra tangente está associada à ideia de tocar.
A reta:
x = 1
toca o círculo unitário no ponto:
T = (1, 0)
e, no primeiro quadrante, o valor da função pode ser representado pelo segmento TQ sobre essa reta.
Assim, duas ideias que inicialmente poderiam parecer separadas se encontram:
tangente como razão entre catetos
e
tangente como construção associada a uma reta tangente ao círculo
Ambas expressam a mesma relação geométrica. (STEWART; REDLIN; WATSON, 2016).
Uma conexão importante
Agora podemos reunir três maneiras de interpretar a mesma grandeza:
tan θ = cateto oposto / cateto adjacente
tan θ = sen θ / cos θ = y/x
e, na construção geométrica do primeiro quadrante:
tan θ = TQ
Essas relações não são três definições independentes.
São três maneiras de enxergar a mesma relação geométrica.
Podemos agora conectar toda a construção:
triângulo retângulo → círculo unitário → coordenadas x e y → razão y/x → coeficiente angular → função tangente → reta tangente ao círculo
Começamos comparando dois lados de um triângulo e chegamos a uma interpretação geométrica na qual podemos literalmente enxergar o valor da tangente sobre uma reta que toca o círculo.
O que aprendemos sobre a tangente?
Começamos este artigo com uma relação bastante conhecida:
tan θ = cateto oposto / cateto adjacente
Mas, seguindo o mesmo caminho que utilizamos para compreender seno e cosseno, não ficamos apenas com a fórmula.
Voltamos ao círculo unitário.
Para cada ângulo θ, temos um ponto:
P = (cos θ, sen θ)
Portanto:
x = cos θ
e:
y = sen θ
Quando comparamos diretamente essas duas coordenadas, obtemos:
tan θ = y/x
ou:
tan θ = sen θ / cos θ
Assim, enquanto seno e cosseno correspondem às coordenadas do ponto P, a tangente representa uma razão entre essas coordenadas.
Essa razão também nos revelou outra interpretação.
A reta que passa pela origem O = (0,0) e pelo ponto P = (x,y) possui coeficiente angular:
m = y/x
Como:
tan θ = y/xt
emos:
m = tan θ
Portanto, a tangente corresponde ao coeficiente angular da reta OP e está diretamente relacionada ao seu ângulo de inclinação em relação ao eixo x.
No primeiro quadrante, à medida que tan θ aumenta, a reta OP torna-se cada vez mais inclinada e se aproxima da posição vertical.
Foi assim que compreendemos por que:
tan 0° = 0
tan 45° = 1
e por que a tangente cresce sem limite quando o ângulo se aproxima de 90° pela esquerda.
Por que a tangente não está definida em alguns ângulos?
A própria expressão:
tan θ = sen θ / cos θ
nos fornece a resposta.
Sempre que:
cos θ = 0
teríamos uma divisão por zero.
Isso ocorre em:
θ = 90° + k·180°
com k inteiro.
Em radianos:
θ = π/2 + kπ
Nesses ângulos:
tan θ não está definida.
Quando nos aproximamos de 90° pela esquerda:
tan θ → +∞
e, quando nos aproximamos pela direita:
tan θ → −∞
Isso explica o aparecimento das assíntotas verticais no gráfico da função tangente.
É importante não confundir essas afirmações:
tan 90° não é +∞ nem −∞.
A tangente simplesmente não está definida em 90°.
Os símbolos +∞ e −∞ descrevem o comportamento dos valores da função quando nos aproximamos desse ângulo pelos dois lados.
Uma função que se repete a cada meia volta
Também descobrimos que pontos separados por 180° pertencem à mesma reta que passa pela origem.
Por isso:
tan(θ + 180°) = tan θ
ou:
tan(θ + π) = tan θ
A função tangente possui, portanto:
período = 180° = π rad
Essa é outra diferença importante em relação ao seno e ao cosseno, cujos períodos são:
360° = 2π rad
A tangente não está limitada entre −1 e 1
Para seno:
−1 ≤ sen θ ≤ 1
e para cosseno:
−1 ≤ cos θ ≤ 1
A tangente possui comportamento diferente.
Entre duas assíntotas consecutivas, ela percorre continuamente todos os valores reais.
Assim, sua imagem é:
Im(tan) = ℝ
Isso explica por que seu gráfico possui ramos que se estendem indefinidamente para cima e para baixo.
E finalmente entendemos seu nome
Ao traçarmos a reta:
x = 1
tangente ao círculo unitário no ponto:
T = (1,0)
e prolongarmos a reta OP até encontrar essa reta tangente no ponto Q, verificamos, no primeiro quadrante, que:
TQ = tan θ
A tangente pode, portanto, ser visualizada como um segmento sobre uma reta tangente ao círculo.
Isso conecta a razão trigonométrica à construção geométrica associada à origem de seu nome.
A jornada completa
Agora podemos reunir toda a construção:
triângulo retângulo → círculo unitário → coordenadas (cos θ, sen θ) → razão y/x → coeficiente angular → tangente → assíntotas → periodicidade → gráfico → reta tangente
O que inicialmente parecia apenas uma fórmula:
tan θ = cateto oposto / cateto adjacente
passa a representar uma estrutura geométrica muito mais rica.
A tangente relaciona ângulo, coordenadas e coeficiente angular.
E essa interpretação terá enorme importância mais adiante.
Quando estudarmos retas e funções, a razão entre variação vertical e horizontal aparecerá novamente como:
m = Δy/Δx
o coeficiente angular de uma reta.
Na Física, a ideia de relacionar a variação de uma grandeza à variação de outra também aparecerá muitas vezes, preparando o caminho para conceitos cada vez mais importantes.
Mais uma vez, a matemática que estamos construindo agora não está isolada.
Ela está preparando ferramentas que reencontraremos ao longo da nossa Jornada da Energia. (OPENSTAX, 2021; STEWART; REDLIN; WATSON, 2016).
REFERÊNCIAS
OPENSTAX. Precalculus 2e. Houston: OpenStax, Rice University, 2021.
STEWART, James; REDLIN, Lothar; WATSON, Saleem. Precalculus: Mathematics for Calculus. 7. ed. Boston: Cengage Learning, 2016.
LARSON, Ron. Precalculus. 10. ed. Boston: Cengage Learning, 2017.